Standard Cayley-Dickson Construction of Sedenions

Using the traditional Cayley-Dickson formula (a,b)(c,d) = (ac - db*, a*d + cb) gives as special cases: Using this process to obtain sedenions from octonions requires first choosing a representation of the octonions to act upon. A logical choice is the representation obtained from the right-handed quaternions via the canonical mapping, viz.:
e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e0 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 -e0 e3 -e2 -e5 e4 -e7 e6
e2 e2 -e3 -e0 e1 -e6 e7 e4 -e5
e3 e3 e2 -e1 -e0 -e7 -e6 e5 e4
e4 e4 e5 e6 e7 -e0 -e1 -e2 -e3
e5 e5 -e4 -e7 e6 e1 -e0 -e3 e2
e6 e6 e7 -e4 -e5 e2 e3 -e0 -e1
e7 e7 -e6 e5 -e4 e3 -e2 e1 -e0

Applying the Cayley-Dickson construction above and using the canonical mapping gives the following multiplication table containing the triads listed beside it ("T#" is a triad's 0-based position in the lexically ordered list of quaternionic triads; "Handbit" is 0 for righthanded and 1 for lefthanded, giving a signmask value of 29cf9f29e for this multiplication table):

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e0 e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -e0 e3 -e2 -e5 e4 -e7 e6 -e9 e8 -e11 e10 e13 -e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -e0 e1 -e6 e7 e4 -e5 -e10 e11 e8 -e9 e14 -e15 -e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -e0 -e7 -e6 e5 e4 -e11 -e10 e9 e8 e15 e14 -e13 -e12
e4 e4 e5 e6 e7 -e0 -e1 -e2 -e3 -e12 -e13 -e14 -e15 e8 e9 e10 e11
e5 e5 -e4 -e7 e6 e1 -e0 -e3 e2 -e13 e12 e15 -e14 -e9 e8 e11 -e10
e6 e6 e7 -e4 -e5 e2 e3 -e0 -e1 -e14 -e15 e12 e13 -e10 -e11 e8 e9
e7 e7 -e6 e5 -e4 e3 -e2 e1 -e0 -e15 e14 -e13 e12 -e11 e10 -e9 e8
e8 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15 -e0 -e1 -e2 -e3 -e4 -e5 -e6 -e7
e9 e9 -e8 -e11 e10 e13 -e12 e15 -e14 e1 -e0 -e3 e2 e5 -e4 e7 -e6
e10 e10 e11 -e8 -e9 e14 -e15 -e12 e13 e2 e3 -e0 -e1 e6 -e7 -e4 e5
e11 e11 -e10 e9 -e8 e15 e14 -e13 -e12 e3 -e2 e1 -e0 e7 e6 -e5 -e4
e12 e12 -e13 -e14 -e15 -e8 e9 e10 e11 e4 -e5 -e6 -e7 -e0 e1 e2 e3
e13 e13 e12 e15 -e14 -e9 -e8 e11 -e10 e5 e4 e7 -e6 -e1 -e0 e3 -e2
e14 e14 -e15 e12 e13 -e10 -e11 -e8 e9 e6 -e7 e4 e5 -e2 -e3 -e0 e1
e15 e15 e14 -e13 e12 -e11 e10 -e9 -e8 e7 e6 -e5 e4 -e3 e2 -e1 -e0

Heptads contain the triads to the right (as referenced by T#):
H#T#'s of Member Triadssignmask
H00,1,2,7,8,13,141101110 = 6e
H10,3,4,9,10,15,161101110 = 6e
H20,5,6,11,12,17,180010000 = 10
H31,3,5,19,20,23,240111011 = 3b
H41,4,6,21,22,25,261011011 = 5b
H52,3,6,27,28,31,320111011 = 3b
H62,4,5,29,30,33,340100011 = 23
H77,9,11,19,21,27,290111011 = 3b
H87,10,12,20,22,28,300111101 = 3d
H98,9,12,23,25,31,331101110 = 6e
H108,10,11,24,26,32,340010000 = 10
H1113,15,17,19,22,31,340111011 = 3b
H1213,16,18,20,21,32,331011011 = 5b
H1314,15,18,23,26,27,300111011 = 3b
H1414,16,17,24,25,28,290100011 = 23
T#;Triad UnitsHandbit
0 e1,e2,e30
1 e1,e4,e51
2 e1,e6,e71
3 e1,e8,e91
4 e1,e10,e111
5 e1,e12,e130
6 e1,e14,e150
7 e2,e4,e61
8 e2,e5,e70
9 e2,e8,e101
10 e2,e9,e110
11 e2,e12,e140
12 e2,e13,e151
13 e3,e4,e71
14 e3,e5,e61
15 e3,e8,e111
16 e3,e9,e101
17 e3,e12,e150
18 e3,e13,e140
19 e4,e8,e121
20 e4,e9,e131
21 e4,e10,e141
22 e4,e11,e151
23 e5,e8,e131
24 e5,e9,e120
25 e5,e10,e150
26 e5,e11,e141
27 e6,e8,e141
28 e6,e9,e151
29 e6,e10,e120
30 e6,e11,e130
31 e7,e8,e151
32 e7,e9,e140
33 e7,e10,e131
34 e7,e11,e120

Observations on Heptad Structure

To analyze the octonionic nature of the heptads, they must be compared to the known representations of octonions and twisted octonions. Except for H0, the indices of the unit elements must thus be remapped to {1,2,3,4,5,6,7}. The natural map is monotonic; once applied, the renamed triads are used to determine which of the 30 quaternionic groupings corresponds to the heptad, hence which of the signmask values correspond to true octonions. For XOR-based representations, this is easy - the remapped heptad corresponds to the XOR quaternion grouping, and the order of bits in the signmask is unaltered, so direct comparison to the special signmask values 08,0f,11,... determines which triad (if any) is distinguished. Click here for a more complicated (hence more instructive) example.

Thus, H1, H3, H5, H7, H9, H11, H13, and H0 are all true octonions; the distinguished triads in the other heptads are (specified by T#):
H2: 0; H4: 1; H6: 2; H8: 7; H10: 8; H12: 13; H14: 14; these are exactly the triads in H0.