| e0 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
e0 | e0 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
e1 | e1 | -e0 | e3 | -e2 | -e5 | e4 | e7 | -e6 |
e2 | e2 | -e3 | -e0 | e1 | -e6 | -e7 | e4 | e5 |
e3 | e3 | e2 | -e1 | -e0 | -e7 | e6 | -e5 | e4 |
e4 | e4 | e5 | e6 | e7 | -e0 | -e1 | -e2 | -e3 |
e5 | e5 | -e4 | e7 | -e6 | e1 | -e0 | e3 | -e2 |
e6 | e6 | -e7 | -e4 | e5 | e2 | -e3 | -e0 | e1 |
e7 | e7 | e6 | -e5 | -e4 | e3 | e2 | -e1 | -e0 |
|
The 9 sections:
- the 9:00 arm of the central cross (red); (0,1)(ei,0)
- the 12:00 arm of the central cross (green); (ei,0)(0,1)
- the 3:00 arm of the central cross (yellow); (0,1)(0,ei)
- the 6:00 arm of the central cross (light blue); (0,ei)(0,1)
- the lower left 3x3 square, exclusive of diagonal (gray); (0,ei)(ej,0) i ≠ j
- the upper right 3x3 square, exclusive of diagonal (brownish); (ei,0)(0,ej) i ≠ j
- the lower right 3x3 square (diagonal elements fixed to -e0); (0,ei)(0,ej)
- the diagonal of the lower left 3x3 square (dark blue); (0,ei)(ei,0)
- the diagonal of the upper right 3x3 square (magenta); (ei,0)(0,ei)
|
1 1a: (ac - b*d, da* + bc) | twisted octonions, XOR/3a representation |
2 1b: (ac - db*, da* + bc) | e1e6=e7 ⇒ ⇐ e6e7 = -e1 |
3 1c: (ac - bd*, da* + bc) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e4e5 = e1 |
4 1d: (ac - d*b, da* + bc) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e4e5 = e1 |
5 52: (ac - b*d, a*d + cb) | e1e6=-e7 ⇒ ⇐ e6e7 = e1 |
6 53: (ac - db*, a*d + cb) | true octonions, XOR/6e (i.e. this is the usual Cayley-Dickson formula |
7 54: (ac - bd*, a*d + cb) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e4e5 = e1 |
8 55: (ac - d*b, a*d + cb) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e4e5 = e1 |
9 ba: (ac - b*d, d*a* + b*c) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
10 bb: (ac - db*, d*a* + b*c) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
11 bc: (ac - bd*, d*a* + b*c) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
12 bd: (ac - d*b, d*a* + b*c) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
13 f2: (ac - b*d, a*d* + cb*) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
14 f3: (ac - db*, a*d* + cb*) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
15 f4: (ac - bd*, a*d* + cb*) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
16 f5: (ac - d*b, a*d* + cb*) | e1e4=-e5 ⇒ ⇐ e1e5 = -e4 |
17 10a: (ac - b*d, da + bc*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e4e5 = -e1 |
18 10b: (ac - db*, da + bc*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e4e5 = -e1 |
19 10c: (ac - bd*, da + bc*) | e1e6=-e7 ⇒ ⇐ e6e7 = e1 |
20 10d: (ac - d*b, da + bc*) | true octonions, XOR/0x44 (Moreno's variant C-D) |
21 142: (ac - b*d, ad + c*b) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e4e5 = -e1 |
22 143: (ac - db*, ad + c*b) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e4e5 = -e1 |
23 144: (ac - bd*, ad + c*b) | twisted octonions, XOR/0x10 representation (2nd new variant of C-D) |
24 145: (ac - d*b, ad + c*b) | e1e6=e7 ⇒ ⇐ e6e7 = -e1 |
25 1aa: (ac - b*d, d*a + b*c*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
26 1ab: (ac - db*, d*a + b*c*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
27 1ac: (ac - bd*, d*a + b*c*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
28 1ad: (ac - d*b, d*a + b*c*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
29 1e2: (ac - b*d, ad* + c*b*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
30 1e3: (ac - db*, ad* + c*b*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
31 1e4: (ac - bd*, ad* + c*b*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |
32 1e5: (ac - d*b, ad* + c*b*) | e1e4=e5 ⇒ ⇐ e1e5 = e4 |